Училищен курс по геометрия

Предговор

1. Аксиоми на геометрията
1.1. Върху аксиоматичното изграждане на геометрията
1.2. Аксиоми на Д. Хилберт
1.3. Свойства на еднаквостите
1.4. Планиметрия
1.5. Непротиворечивост на евклидовата геометрия
1.6. Пълнота на аксиоматиката на евклидовата геометрия
1.7. Изометрия. Връзка между изометриите и еднаквостите

2. Еднаквости в равнината
2.1. Посока върху права и посока на въртене в равнината около точка
2.2. Движение и отражение
2.3. За понятията ос и алгебрична мярка на насочена отсечка
2.4. Насочен ъгъл и алгебрична мярка на насочен ъгъл
2.5. Частни видове еднаквости
2.6. Класификация на еднаквостите в равнината
2.7. Произведение на три осеви симетрии

3. Подобности
3.1. Теорема на Талес
3.2. Окръжност на Аполоний
3.3. Теореми на Менелай и на Чева
3.4. Хомотетия
3.5. Окръжност на деветте точки за даден триъгълник
3.6. Подобности
3.7. Класификация на подобностите в равнината
3.8. Една методическа бележка

4. Лице на многоъгълник
4.1. Единственост на лицето
4.2. Съществуване на лицето – първо докозотелство
4.3. Съществуване на лицето – второ доказателство
4.4. Равноразложимост на многоъгълници

5. Афинна геометрия на евклидовата равнина
5.1. Афинитет
5.2. Афинна група
5.3. Понятие за афинна геометрия
5.4. Събирането на свободни вектори и умножението на вектор с число като афинни операции
5.5. Афинни задачи. Методи за решаването на афинни задачи

6. Елементи от геометрията на окръжностите
6.1. Степен на точка относно окръжност
6.2. Радикална ос на две окръжности
6.3. Радикален център на три окръжности
6.4. Снопове окръжности
6.5. Задачи на Аполоний
6.6. Инверсия относно окръжност
6.7. Образ на права и окръжност при инверсия
6.8. Ъгъл между две окръжности. Основно свойство на инверсията
6.9. Ортогонални окръжности. Някои приложения на Щайнер
6.10. Задачи на Щайнер
6.11. Построения само с пергел. Теорема на Мор-Маскерони

7. Взаимни положения на точки, прави и равнини в пространството
7.1. Основни обекти, чрез които се определя една равнина
7.2. Взаимни положения на две прави, права и равнина, две равнини
7.3. Успоредност на права, права и равнина, две равнини
7.4. Върху построенията в пространството

8. Перпендикулярност в пространството
8.1. Ъгъл, определен от две кръстосани прави
8.2. Перпендикулярност на права и равнина
8.3. Третиране на еднаквостите в пространството като изометрии
8.4. Построяване на равнина, перпендикулярна на права и на права, перпендикулярна на равнина
8.5. Успоредно и ортогонолно проектиране
8.6. Двустенен ъгъл
8.7. Лице на ортогонална проекция на многоъгълник
8.8. Перпендикулярни равнини
8.9. Ос на кръстосани прави
8.10. Частни видове еднаквости в пространството

9. Тристенен ъгъл. Многостенен ъгъл
9.1. Тристенен ъгъл – основни понятия
9.2. Първа косинусова теорема
9.3. Неравенства за ръбните ъгли
9.4. Полярни тристенни ъгли. Неравенства за двустенните ъгли
9.5. Втора косинусова теорема
9.6. Синусова теорема за тристенен ъгъл
9.7. Многостенен ъгъл
9.8. Сферична геометрия

10. Тетраедър
10.1. Някои помощни равенства
10.2. Някои свойства на тетраедрите, които имат поне една двойка перпендикулярни кръстосани ръбове
10.3. Ортоцентричен тетраедър

11. Описана и вписана сфера за многостени
11.1. Описана сфера около многостен
11.2. Вписана сфера в многостен
11.3. Сфера, която се допира до ръбовете на многостен

12. Зависимости между ъгли в правилна пирамида

13. Трета проблема на Хилберт
13.1. Адитивна функция
13.2. Инварианта на Ден за даден многочлен

14. Изпъкнали многостени
14.1. Теорема на Ойлер за изпъкналите многостени
14.2. Правилни многостени

15. Аналитично изследване на еднаквостите и подобностите

15.1. Аналитично представяне на афинитет
15.2. Аналитично представяне на подобностите и еднаквостите
15.3. Класификация на еднаквостите в равнината
15.4. Класификация на подобностите в равнината
15.5. Класификация на еднаквостите в пространството
15.6. Класификация на подобностите в пространството

Литература