Математически структури

Увод

1. Основни математически структури

1.1. Елементи от теорията на математическата логика

1.2. Увод в теорията на множествата

1.3. Теоретико-множествени операции с множества

1.4. Аксиоми на алгебрата на множествата

1.5. Декартово произведение на множества

1.6. Алгебрични операции над множества

1.7. Двучленни релации

1.8. Алгебрични системи

1.9. Предмет и архитектура на математиката

1.10. Основни алгебрични структури

1.11. Линейно наредени пръстени

1.12. Линейно наредени полета

1.13. Аксиоматичен метод за изграждане на една научна теория

1.14. Модели на една математическа дисциплина

1.15. Категоричност на една математическа дисциплина

2. Естествени числа

2.1. Аксиоми на теорията на естествените числа

2.2. Теорема на Пеано-Ловер

2.3. Независимост, непротиворечивост и пълнота на теорията на естествените числа

2.4. Събиране на естествени числа

2.5. Умножение на естествени числа

2.6. Степенуване на естествени числа

2.7. Наредба в множеството на естествените числа

2.8. Наредба и алгебрични операции

2.9. Разлика и частно на естествени числа

2.10. Обобщени суми и произведения

2.11. Категоричност на теорията на естествените числа

2.12. Бройни системи

2.13. Аритметични операции в p-ична бройна система

2.14. Преминаване от една бройна система към друга

2.15 Делимост в множеството на естествените числа

2.16 Някои релации в множеството на естествените числа

3. Цели числа

3.1. Мотивировка за разширяване на полупръстена на естествените числа

3.2. Построяване на пръстена на целите числа

3.3. Единственост на пръстена на целите числа

3.4. Наредба в пръстена на целите числа

3.5. Обобщение на аксиомата за пълната индукция

3.6. Целочислени кратни

3.7. Абсолютна стойност на целите числа

3.8. Деление на цели числа

3.9. Самостоятелна аксиоматика на теорията на целите числа

4. Рационални числа

4.1. Кратки исторически бележки относно възникването на рационалните числа

4.2. Мотивировка за разширяване на пръстена на целите числа

4.3. Построяване на полето на рационалните числа

4.4. Единственост на полето на рационалните числа

4.5. Наредба в полето на рационалните числа

4.6. Влагане в линейно наредено поле

5. Реални числа

5.1. Мотивировка за разширяване на полето на рационалните числа

5.2. Построяване на полето на реалните числа

5.3. Теория на Мере-Кантор за реалните числа

5.4. Представяне на реалните числа чрез систематични дроби

6. Верижни дроби

6.1. Въведение в теорията на верижните дроби

6.2. Подходящи дроби

6.3. Безкрайни верижни дроби

6.4. Верижни дроби с естествени елементи

6.5. Верижните дроби като апарат за представяне

6.6. Подходящите дроби в качество на най-добри приближения

6.7. Върху порядъка на приближенията

6.8. Златното сечение, представено като верижна дроб

7. Комплексни числа

7.1. Някои исторически бележки

7.2. Аналитичен подход към теорията на комплексните числа

7.3. Тригонометричен вид на комплексно число

7.4. Поле на комплексните числа

7.5. Свойства на полето на комплексните числа

8. Аналитична теория на полиномите

8.1. Определение и операции с полиноми

8.2. Теорема за деление на полиноми

8.3. Теорема за идентичност на два полинома

8.4. Корени на полиномите

8.5. Основна теорема на алгебрата

8.6. Връзка между нули и коефициенти. Формули на Виет

8.7. Намиране на рационални корени на алгебрично уравнение с рационални коефициенти

8.8. Неразложими целочислени полиноми над Z

8.9. Алгебрична затвореност на полето на комплексните числа

9. Алгебрични и трансцендентни числа

9.1. Крайни и безкрайни множества

9.2. Изброими множества

9.3. Алгебрични и трансцендентни числа

Използвана литература