Алгебра

Увод

Глава 1. Въведение в теорията на целите числа
1.1. Теория за делимост на целите числа
1.2. Теория на сравненията

Глава 2. Дефиниция и свойства на комплексните числа
2.1. Обосновка на комплексните числа
2.2. Тригонометрична форма на комплексно число
2.3. Коренуване на комплексно число
2.4. Корени на единицата
2.5. Показателна и логаритмична функция на комплексна променлива

Глава 3. Теория на групите
3.1. Групи
3.2. Циклични групи
3.3. Съседни класове. Теорема на Лагранж
3.4. Нормални подгрупи. Факторгрупи. Теорема за хомоморфизмите
3.5. Симетрични групи

Глава 4. Пръстени
4.1. Пръстени и полета
4.2. Поле от частни
4.3. Идеали. Факторпръстени. Теорема за хомоморфизмите
4.4. Матрични пръстени

Глава 5. Дефиниция и свойства на полиномите
5.1. Полиноми на една променлива
5.2. Алгебрично решение на уравнения от трета и четвърта степен
5.3. Полиноми на няколко променливи
5.4. Симетрични полиноми
5.5. Дискриминанта и резултанта
5.6. Циклотомични полиноми

Глава 6. Въведение в теорията на полиномите и дробно рационалните функции
6.1. Теория на делимостта за полиноми на една променлива
6.2. Производни
6.3. Рационални дроби
6.4. Интерполация

Глава 7. Свойства на полиномите с цели коефициенти. Полиноми над факториален пръстен
7.1. Полиноми с цели коефициенти
7.2. Полиноми на една променлива над факториален пръстен

Глава 8. Дефиниция на сравнения в пръстен на полиноми и разширения на полета
8.1. Сравнения в пръстен от полиноми над полета
8.2. Разширение на поле
8.3. Алгебрични елементи. Строеж на простите алгебрични разширения
8.4. Някои видове алгебрични разширения
8.5. Съществуване на разширение на основното поле, в което даден полином има корен
8.6. Поле на разлагане
8.7. Крайни полета
8.8. Теорема за примитивния елемент
8.9. Квадратични радикални разширения
8.10. Алгебрически затворени полета
8.11. Доказателство на теоремата на Даламбер за съществуване на корен на полином с числови коефициенти
8.12. Алгебрични числа
8.13. Нерешимост на някои задачи за построение с линия и пергел

Глава 9. Разпределение на корените на полиномите в комплексната равнина
9.1. Разпределение на корените върху комплексната равнина
9.2. Разпределение на реалните корени на полином с реални коефициенти
9.3. Обобщена теорема на Щурм
9.4. Приблизително изчисляване на корените на полином

Глава 10. Теория на Галоа
10.1. Характери на абелеви групи. Линейна независимост на характерите. Неподвижно подполе
10.2. Нормални разширения
10.3. Основна теорема на теорията на Галоа
10.4. Група на Галоа на композит на полета
10.5. Корени на единицата. Циклотомични разширения
10.6. Циклични разширения
10.7. Кохомологии на Галоа и ньотерови системи. Нормален базис
10.8. Крайни полета

Глава 11. Елементи от теорията на числата
11.1. Числови функции
11.2. Определение и основни свойства на сравненията
11.3. Обратими елементи във факторпръстен на пръстена на целите числа
11.4. Основни свойства на функцията на Ойлер
11.5. Сравнения от първа степен с едно неизвестно
11.6. Системи сравнения от първа степен с едно неизвестно
11.7. Сравнения от по-висока степен при прост модул
11.8. Сравнения при произволен модул
11.9. Показатели по даден модул
11.10. Примитивни корени по даден модул
11.11. Индекси. Приложение на индексите за решаване на двучленни сравнения
11.12. Символ на Льожандър

Глава 12. Теория на модулите
12.1. Определение на модул над комутативен пръстен с единица
12.2. Подмодули. Директни суми на модули
12.3. Фактормодули. Теорема за хомоморфизмите
12.4. Анулатор на елемент на модул
12.5. Неразложими циклични модули над област на главни идеали
12.6. Структурна теорема за крайно породените модули над област на главни идеали
12.7. Свободни модули с краен ранг. Второ доказателство на структурната теорема за крайно породените модули над област на главни идеали
12.8. Периодични модули
12.9. Теорема за единственост на разлагането на крайно породените модули в директна сума
12.10. Едно приложение на структурната теорема за крайните абелеви групи

Използвана литература