Теория на мярката

Предговор

1. Мярка на Лебег върху реалната права
1.1. Външна мярка на Лебег
1.2. Вътрешна мярка на Лебег
1.3. Мярка на Лебег
1.4. Неизмерими множества

2. Интеграл на Лебег от ограничена функция върху ограничен интервал
2.1. Суми на Лебег
2.2. Суми на Дарбу–Лебег
2.3. Еквивалентност на двата подхода

3. Общо понятие за мярка
3.1. Измерими пространства
3.2. Мярка – дефиниция, характеристики и основни свойства
3.3. Други основни понятия и техни свойства

4. Измерими функции
4.1. Разширение на понятието „функция“
4.2. Измерими функции – дефиниция
4.3. Измерими функции – основни свойства

5. Интеграл относно мярка
5.1. Прости функции
5.2. Интеграл от проста функция
5.3. Интеграл от неотрицателна измерима функция
5.4. Интегруеми функции и интеграл от интегруема функция

6. Граничен преход под знака на интеграла
6.1. Теорема за монотонен граничен преход
6.2. Лема на Фату
6.3. Теорема за ограничен граничен преход
6.4. Връзка между римановия и лебеговия интеграл

7. Метод на Каратеодори за конструкция на мярка
7.1. Общо понятие за външна мярка
7.2. Теореми на Каратеодори

8. Интеграл на Лебег–Стилтес
8.1. Функции с ограничена вариация
8.2. Интеграл на Лебег–Стилтес

9. Произведение на мерки
9.1. Дефиниция на произведение на мерки
9.2. Връзка между двоен и последователен интеграл
9.3. Интеграл на Лебег върху R^n

10. Знакопроменлива мярка
10.1. Дефиниция и основни свойства
10.2. Декомпозиция на измерими пространства
10.3. Декомпозиция на знакопроменливи мерки

11. Пространства на Лебег
11.1. Пълни пространства
11.2. Пространства на Лебег

12. Интегрална връзка между мерки
12.1. Абсолютна непрекъснатост на мярка
12.2. Теорема на Радон–Никодим
12.3. Декомпозиция на Лебег

13. Представяне на ограничени линейни функционали
13.1. Основни дефиниции
13.2. Представяне на ограничените линейни функционали върху пространствата на Лебег

14. Диференцируемост почти навсякъде на монотонните функции
14.1. Производни на Дини
14.2. Диференцируемост почти навсякъде на монотонните функции

15. Основна теорема на диференциалното и интегрално смятане
15.1. Абсолютно непрекъснати функции
15.2. Основна теорема на диференциалното и интегрално смятане

16. Вероятностни пространства и случайни величини
16.1. Някои основни понятия
16.2. Измерими трансформации
16.3. Някои основни формули

17. Решения, упътвания, отговори

Библиография
Азбучен указател