Комплексен анализ

Предговор

1. Комплексни числа и функции
1.1. Поле на комплексните числа
1.2. Непрекъснати комплексни функции
1.3. Геометрично представяне на комплексните числа
1.4. Пътища и области в комплексната равнина
1.5. Разширената комплексна равнина
1.6. Изображението Inv
1.7. Линейни трансформации
1.8. Функцията z^n
1.9. Функцията на Жуковски
Задачи

2. Холоморфни функции
2.1. Комплексно-диференцируеми функции
2.2. Връзка между реална и комплексна диференцируемост
2.3. Дефиниция на холоморфна функция в отворено множество от С. Уравнения на Коши - Риман
2.4. Холоморфни функции и конформни изображения
2.5. Холоморфни функции в отворено множество от S^2
2.6. Експоненциална функция
2.7. Логаритмична функция
2.8. Степенна функция
2.9. Тригонометрични функции
2.10. Обратни тригонометрични функции
Задачи

3. Теорема на Коши
3.1. Интегриране на комплексни функции
3.2. Свойство на Коши и съществуване на примитивна
3.3. Лема на Гурса. Локална теорема на Коши
3.4. Теорема на Коши в едносвързана област
3.5. Формула на Коши за кръг. Формула на Поасон
3.6. Интеграли от типа на Коши. Съществуване на производни от всеки ред на холоморфна функция. Теорема на Лиувил за целите функции. Теорема на Морера
3.7. Локално-равномерна сходимост. Теорема на Вайерщрас
3.8. Теорема и формула на Коши в произволна област
Задачи

4. Редове на Тейлър, Лоран, Фурие и Дирихле
4.1. Степенни редове. Лема на Абел и формула на Коши - Адамар. Теореми на Абел и Таубер
4.2. Сходящи степенни редове
4.3. Ред и теорема на Тейлър
4.4. Теорема за идентичност на холоморфните функции. Нули на холоморфните функции
4.5. Неравенства на Коши за коефициентите на тейлъров ред. Теореми на Стилтес - Осгуд и Витали
4.6. Принцип на максимума на модула. Лема ва Шварц и теорема на Борел - Каратеодори. Теореми от типа на Фрагмен - Линдельоф
4.7. Редове на Лоран и Фурие. Интеграл на Фурие
4.8. Изолирани особени точки на холоморфните функции. Теорема на Сохоцки - Казорати - Вайерщрас
4.9. Теорема за резидуумите
4.10. Мероморфни функции. Логаритмичен индикатор. Теореми на Руше и Хурвиц. Формула на Йензен
4.11. Принцип на аргумента
4.12. Теорема на Ландау. Малка теорема на Пикар
4.13. Редове на Дирихле
4.14. Класически интегрални трансформации
Задачи

5. Холоморфни и мероморфни функции в С
5.1. Безкрайни произведения
5.2. Теорема на Вайерщрас за целите функции
5.3. Цели функции от краен ред
5.4. Канонични произведения. Теорема на Адамар
5.5. Тип на цяла функция от краен ред. Индикаторна функция. Теорема на Ермит - Билер
5.6. Теореми на Лагер
5.7. Теорема на Митаг-Лефлер
5.8. Метод на Коши за представяне на мероморфни функции чрез елементарни дроби
5.9. Гама-функция на Ойлер
5.10. Римановата дзета-функция
Задачи

6. Елиптични функции
6.1. Периодични функции
6.2. Дефиниция и общи свойства на елиптичните функции
6.3. Функция на Вайерщрас
6.4. Функциите дзета и сигма на Вайерщрас
6.5. Тета-функции
6.6. Елиптични функции на Якоби
6.7. Модулярната функция J
Задачи

7. Пространства от холоморфни функции и класове от функции, свързани с тях
7.1. Топология на локалната равномерна сходимост
7.2. Компактни подмножества на пространства от холоморфни функции
7.3. Теорема на Рунге
7.4. Пространства и функция на Бергман
7.5. Ограничени функции. Произведения на Блашке. Теорема на Фату
7.6. Нормални фамилии. Критерий на Стилтес - Осгуд. Теорема на Шотки и критерий на Монтел. Голяма теорема на Пикар и лъч на Жюлиа
7.7. Хармонични функции. Задача на Дирихле и функция на Грийн
7.8. Субхармонични функции. Метод на Перон
Задачи

8. Конформни изображения
8.1. Холоморфни изображения
8.2. Теорема на Риман. Полиноми и редове на Фабер
8.3. Принцип на симетрията
8.4. Принцип на съответствие на границите. Формула на Кристофел - Шварц
8.5. Мероморфни изображения. Конформна класификация на едносвързаните области в S^2
8.6. Класът S
8.7. Канонични конформни изображения на многосвързани области
8.8. Конформно-инвариантни метрики. Модел на Поанкаре на неевклидовата планиметрия на Лобачевски
Задачи

9. Аналитични функции
9.1. Аналитично продължение
9.2. Дефиниция на аналитична функция, теорема на Поанкаре - Волтера, теорема за монодромията
9.3. Обратна на аналитична функция
9.4. Критични точки на аналитичните функции
9.5. Алгебрични функции
9.6. Риманова повърхнина на аналитична функция
9.7. Аналитични решения на линейни диференциални уравне¬ния от втори ред. Класически специални функции - редове, интеграли и интегрални представяния, свързани с тях
9.8. Аналитични функции и плоски векторни полета
Задачи

Литература